数学——解读新课程标准：让操作更有思考性

《数学课程标准（2011）》指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索和合作交流是学生学习数学的重要方式。在教学实践中，很多老师已认识到操作的重要性，并开展了一系列操作活动，收到了一定的效果。但笔者也看到不少教师在课堂教学中为操作而操作，缺少理性思维，缺少探究味道，没有充分发挥其培养学生数学思考和实践能力的功效。现结合实例谈谈笔者的一些想法和做法。
　　
　　一、变指令性操作为设计性操作
　　
　　一位老师在教“平行四边形容易变形”时，问学生：三角形具有稳定性，平行四边形也具有稳定性吗？学生众说不一。于是老师拿出平行四边形模型，请一个学生上台反复拉动对角顶点。学生发现：平行四边形容易变形。教师很满意学生的发现，接着就引导学生举例说明生活中哪些地方应用了这一性质。学生举例（略）。
　　操作不仅仅是为了让学生获得知识，它还应该担当起培养学生理性思考的重任。上述片段，学生是在教师的指令下被动地听和看，缺少自主探究，更缺少数学思考，难以促进学生探究能力的提高和智慧的生长。为此，笔者进行了改进，实录如下：
　　师：同学们，三角形具有稳定性，你认为平行四边形也具有稳定性吗？
　　学生众说不一。
　　师：请同学们回想一下，我们是怎么发现三角形具有稳定性的？
　　生：我们拉动自制的三角形框架，怎么使劲也不变形。
　　生：我们发现生活中许多活动的东西，如桌子用久了会摇动，用“三角形”就可以固定，所以我们认为三角形具有稳定性。
　　师：你能想个办法证明平行四边形有稳定性吗？
　　生：用木条做一个平行四边形模型，然后拉一拉，看拉得动，还是拉不动。
　　生：我认为平行四边形不具有稳定性。因为我发现校门口的电动门可以来回伸缩。
　　生：还有包装苹果的网兜可以拉动。
　　这时，教师再引导学生亲手拉一拉自制的平行四边形模型，学生发现平行四边形真的容易变形。
　　以上片段，使操作发挥了多方面的功效，充分激发了学生探究的主动性和积极性。教师先提出问题，再引导学生分析问题、解决问题。学生则是先猜想，再类比联想，最后自己设计实验并且验证，不但发现了新知，而且学会了探究。整个片段浑然一体，学生在理性地进行研究性操作。
　　
　　二、变验证性操作为探究性操作
　　
　　一位老师在教“圆锥的体积”时，让学生准备了几组等底等高的圆柱形容器和圆锥形容器，实施了如下教学：
　　师：怎样计算圆锥的体积呢？
　　生：把圆锥体转化成我们学过的长方体或圆柱体。
　　师：究竟是把圆锥转化成长方体好呢，还是转化成圆柱体好呢？
　　生：转化成圆柱体好，因为它们的底面都是圆。
　　师：请你们拿出等底等高的圆柱形容器和圆锥形容器，在一个容器里装满水或沙子，相互倒一下。你发现它们的体积之间有什么关系？
　　（学生互倒后）
　　生：圆锥体积是圆柱体积的1/3。
　　生：圆柱体积是圆锥体积的3倍。
　　师：是不是所有的圆锥体积都是与它等底等高的圆柱体积的1/3呢？你们再用另一组容器做一下实验。
　　生：我们又做了同样的实验，发现圆锥体积还是圆柱体积的1/3。
　　师：假如圆锥和圆柱等底不等高，或等高不等底时，圆锥体积会不会还是圆柱体积的1/3呢？
　　学生又用实验说明只有等底等高时，圆锥体积才是圆柱体积的1/3。
　　于是教师引导学生运用结论解决实际问题。
　　以上教学，教师重视了转化思想的渗透，注意引导学生通过多个实验验证结论，确信其发现。但怎么会想到从“等底等高”这个角度考虑做实验，这一关键性问题学生却一无所知，其中蕴涵的思想方法无法领会，他们只是在按老师的要求做一个又一个实验，验证结论，缺少自主探究和深刻的理性思考。笔者作了改进，实录如下：
　　师：同学们，你认为圆锥的体积会与它的什么有关？
　　生：与它的底面有关，底面积越大，体积越大。
　　生：我不同意，假如底面积变大，高变小时，体积不会越来越大。
　　生：与底面积和高都有关，当底面积与高都变大时，体积才变大。
　　师：怎样计算圆锥的体积呢？
　　生：把它转化成圆柱体或长方体。
　　师：怎样转化呢？请大家回想一下，圆柱体积的计算公式是怎么推导出来的。
　　生：通过实验，把圆柱切拼成等底等高的长方体，圆柱体与长方体体积相等，都是用底面积乘高求体积。
　　师：根据圆柱体与长方体等底等高时，体积会相等，你想到了什么？
　　教师板书：等底等高
　　生：当圆锥与圆柱等底等高时，体积也会相等吗？
　　教师顺势拿出一对等底等高的圆柱形和圆锥形容器。
　　生：一眼就看出，它们的体积明显不等。
　　师：它们的体积之间究竟存在什么关系呢？你能想个办法研究吗？
　　生：我们做实验。
　　这时教师才开始引导学生亲自做上述教师所做的实验（略）。
　　以上教学，教师首先引导学生根据生活经验和已有知识直观地感受圆锥的体积与底面积和高都有关，然后启发学生类比联想，从“等底等高”的角度思考问题，最后让学生领悟到需要通过实际操作才能探求出它们之间的体积关系。这里，思考在操作之前，操作成为学生研究问题的内在需要，成为学生探求知识的途径和方法。